ДРОБНЫЕ ЧИСЛА В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ
А не записать ли нам в двоичной системе счисления число пи?
А. Алешин
В любой системе счисления нужно уметь представлять не только целые числа, но
и дробные. С математической точки зрения это ординарная задача, которая давно решена. Однако с
точки зрения компьютерной техники это далеко не тривиальная проблема, во многом связанная с
архитектурой компьютера. Ресурсы компьютеров не бесконечны, и основной трудностью является
представление периодических и непериодических дробей. Следовательно, такие дроби следует
округлять, задавать класс точности участвующих (и могущих появиться в результате вычислений!)
чисел без потери точности вычислений, а также следить за тем, чтобы потеря точности не произошла
при переводе чисел из одной системы счисления в другую. Особенно важно аккуратно производить
вычисления при операциях с плавающей точкой.
Запишем формулу представления дробного числа в позиционной системе
счисления:
Ap = an-1·pn-1+an-2·pn-2 + ... + a1·p1+a0·p0 +a-1·p-1+a-2·p-2 + ... + a-m·p-m, [4.1]
В случае десятичной системы счисления получим:
24,732 = 2·101+4·100+7·10-1+3·10-2
Перевод дробного числа из двоичной системы счисления в десятичную
производится по следующей схеме:
101101,1012 = 1·25+0·24+1·23+1·22+0·21+1·20+1·2-1+0·2-2+1·2-3=45,625
Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную
осуществляется по следующему алгоритму:
Вначале переводится целая часть десятичной дроби в двоичную систему
счисления;
Затем дробная часть десятичной дроби умножается на основание двоичной
системы счисления;
В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в
качестве значения первого после запятой разряда числа в двоичной системе счисления;
Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна
нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления
продолжаются с предыдущего шага.
Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное
двоичное число.
Перевод целой части дает 20610=110011102 по
ранее описанным алгоритмам; дробную часть умножаем на основание 2, занося целые части
произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:
.116 • 2 = 0.232
.232 • 2 = 0.464
.464 • 2 = 0.928
.928 • 2 = 1.856
.856 • 2 = 1.712
.712 • 2 = 1.424
.424 • 2 = 0.848
.848 • 2 = 1.696
.696 • 2 = 1.392
.784 • 2 = 0.784
и т.д.
Получим: 20610=11001110,00011101102
Таблицу степеней первых восьми отрицательных степеней двойки можно посмотреть
в Приложении.
<< Предыдущий раздел Оглавление Следующий раздел >>
Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова
Кафедра компьютерных и информационных технологий
Все права защищены © ;-)
Web-страница автора
Алексей Алешин
Используются технологии
uCoz
